Имеет ли право работодатель сократить работника по состоянию здоровья?

Вас могут уволить по статье 83. прекращение трудового договора по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон
трудовой договор подлежит прекращению по следующим обстоятельствам, не зависящим от воли сторон:
...5) признание работника полностью неспособным к трудовой деятельности в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами российской федерации;...
либо по статье 81 по инициативе работодателя 6
...3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;...
сами заявление не пишите. пусть работодатель думает. если есть профсоюз, то обратитесь за помощью к ним
статья 82. обязательное участие выборного органа первичной профсоюзной организации в рассмотрении вопросов, связанных с расторжением трудового договора по инициативе работодателя
при принятии решения о сокращении численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя и возможном расторжении трудовых договоров с работниками в соответствии с пунктом 2 части первой статьи 81 настоящего кодекса работодатель обязан в письменной форме сообщить об этом выборному органу первичной профсоюзной организации не позднее чем за два месяца до начала проведения соответствующих мероприятий, а в случае, если решение о сокращении численности или штата работников может привести к массовому увольнению работников - не позднее чем за три месяца до начала проведения соответствующих мероприятий. критерии массового увольнения определяются в отраслевых и (или) территориальных соглашениях.
увольнение работников, являющихся членами профсоюза, по основаниям, предусмотренным пунктами 2,3 или 5 части первой статьи 81 й профсоюзной организации в соответствии со статьёй 373 настоящего кодекса.
при проведении аттестации, которая может послужить основанием для увольнения работников в соответствии с пунктом 3 части первой статьи 81 настоящего кодекса, в состав аттестационной комиссии в обязательном порядке включается представитель выборного органа соответствующей первичной профсоюзной организации.
коллективным договором может быть установлен иной порядок обязательного участия выборного органа первичной профсоюзной организации в рассмотрении вопросов, связанных с расторжением трудового договора по инициативе работодателя.
если по каким либо причинам вы вышли из профсоюза, то срочно вступите, чтобы они смогли вас защитить.