Нужно ли оплачивать трудовой договор?

Патент ваша мама оплатила, т. е. разрешение на работу в рф у нее есть. теперь ей нужно официальное трудоустройство.
при устройстве на работу по закону в обязательном порядке заключается трудовой договор. за то, что работодатель оформляет с работником договор, сам работник ничего не платит. тем более, ничего не платит работодателю. наоборот - это ему зарплату платят.
с доходов, полученных по договору, все работающие уплачивают налог на доходы физических лиц (подоходный). это - налог, т. е. он платится государству, а не тому, с кем договор заключали. поскольку ваша мама - не гражданин рф и на территории рф раньше не проживала, то в первые 6 месяцев она считается нерезидентом - налог с её доходов составляет 30 %. впрочем, как только с момента пересечения границы пройдет 183 дня, она станет резидентом - и налог должен уменьшится до 13 %.
к слову: при его расчете можно учесть уплаченные за патент платежи, т. е. уменьшить сумму налога на них. правда, для этого вашей маме придётся обратится в налоговую инспекцию по месту своей регистрации за соответствующим уведомлением (и делать это нужно, когда с работой определитесь окончательно). но это потом.
пока заключение трудового договора означает, что с заработной платы работодатель должен будет удерживать и перечислять в бюджет государства подоходный налог. сначала, напомню, 30 %, а полгода спустя - 13 %.
это налоги именно вашей мамы и удерживаются с ее заработка.
помимо этого, работодателю придётся оплачивать взносы в пенсионный фонд, фонд обязательного медицинского страхования и так далее. а вот эти платежи - у чисто самого работодателя, с его средств (а ни из зарплаты работника).
так что работодатель не просто не хочет давать копию договора - он не хочет его заключать. потому что придётся платить взносы. он не о маме беспокоится, а о себе - это же будут его расходы и скрыть их (не платить) не выйдет. договор-то существует и при этом находится в официальной государственной организации - фмс.