Возможно ли установление трудовых отношений на законных основаниях между сторонами, не заключающих трудового договора?

Сложно, но можно. В соответствии с ч. 2 ст. 67 ТК РФ трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе. Т.е. доказывать будете по свидетельским показаниям, какие-то документы, которые вы готовили, подписывали, где есть ваша фамилия, электронная переписка и т.д. и т.п. Процесс не простой, но возможный.