Обязаны выплатить или нет?

Работодатель не прав. Согласно норме ст. 16 ТК РФ одним из оснований возникновения трудовых отношений является фактическое допущение к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя независимо от того, был ли трудовой договор надлежащим образом оформлен. Кроме того, на основании нормы абз. 2 ст. 67 ТК РФ трудовой договор, не оформленный надлежащим образом, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. Следовательно, работодатель обязан оплатить отпускные. Но если Вы обратитесь в суд, позаботьтесь о доказательствах наличия у Вас трудовых отношений и размера заработной платы.