Должна ли я отрабатывать 2 недели после написания заявления на увольнение?

Это право работодателя (не обязанность) - обязать Вас работать еще в течение двух недель с момента подачи (вручения) ему заявления об увольнении по собственному желанию. И сие обстоятельство Вам доходчиво, со ссылкой на соответствующую ст. ТК РФ, было разъяснено, однако... Законом нельзя все учесть и предвидеть. Есть такая лазейка, если, уж, крайне необходимо приступить к работе на новом месте: Пишите заявление на увольнение, срочно уходите на больничный, назавтра же приступаете к новой работе с оформлением новой трудовой книжки. Старую заберете позже. Делается это без лишнего шума и ненужной скандальной риторики. . Чревато, конечно, но, если очень надо... "Обстоятельства творят человека в такой же степени, в какой и человек творит обстоятельства" - К. Маркс