Стоит ли обращаться в трудовую инспекцию и вообще что делать в такой ситуации?

Странно у вас как-то. что значит вы устроены по трудовому договору, а не по трудовой книжке? так не бывает. если вы подписывали трудовой договор, значит и запись в трудовой книжке должна быть, а следовательно, и все отчисления должны были производиться. если трудовой договор вы не подписывали (следовательно, на руках у вас нет второго экземпляра), то и записи в трудовой книжке у вас нет со всеми вытекающими последствиями (отсутствие стажа, отчислений в пфр соцстрах и т. д.). вы можете обратиться в трудовую инспекцию, а также в суд для признания ваших отношений трудовыми либо для понуждения заключить трудовой договор. а вообще вам надо к юристу обратиться.