Можно ли находясь на больничном подать заявление об уходе? Придётся ли отрабатывать 2 нед.?

Подать можно, но если работодатель не согласится уволить сразу, то 2 недели начнутся на следующий день после подачи заявления, и если больничный продлится меньше этих двух недель - то придется выходить и отрабатывать недостающие до двух недель дни. Т.е. если Вы подаете заявление 20 сентября (находясь на больничном), то работодатель имеет право Вас задержать по 5 октября, выходите с больничного 26 сентября, работаете и 5 октября Вас увольняют.