Как проверить, являюсь ли я сотрудником организации, или нет

Да, конечно при приеме на работу нужно получить второй экземпляр трудового договора
при фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе
прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора. содержание приказа (распоряжения) работодателя должно соответствовать условиям заключенного трудового договора.
приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу объявляется работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы. по требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения).
работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
так что, если при оформлении на работу ты активно везде расписывался и у тебя после этого нет ни одного документа на руках, то недобросовестный работодатель может заявить, ссылаясь на твои подписи, что ты все свои экземпляры и копи уже получил.
и все же пока не поздно и если тебе позволяет твоя профессиональная квалификация, требуй трудовой договор и приказ о приеме на работу