Могу ли я работать и быть на учете в центре занятости?

Нельзя. если есть хоть какой-то заработок (официальный, либо по тд либо по гпд) - гражданин безработным не признаётся.

статья 2. занятые граждане

занятыми считаются граждане:
выполняющие работы по договорам гражданско-правового характера, предметами которых являются выполнение работ и оказание услуг, авторским договорам, а также являющиеся членами производственных кооперативов (артелей);