Имеет ли человек право выбора профессии при постановке его на биржу или

По закону во так:
"подходящей считается такая работа, в том числе работа временного характера, которая соответствует профессиональной пригодности работника с учетом уровня его квалификации, условиям последнего места работы (службы), за исключением оплачиваемых общественных работ, а также состоянию здоровья, транспортной доступности рабочего места."

вы, конечно, можете попросить информацию и о других интересующих вас вакансиях, но предлагать вам в первую очередь будут то, что по закону обязаны предлагать, т. е. с учетом вашего последнего места работы