Может ли работодатель отказать в продлении отпуска, если вышел на больничный до начала отпуска и затронул 5 его дней?

Может отказать в продлении, ссылаясь на статью 124 тк рф и пункт 18 правил об очередных и дополнительных отпусках, или может пойти вам на уступки и продлить, а в другом случае обязан согласовать сроки переноса отпуска.
согласно п. 18 правил если причины, мешающие работнику уйти в отпуск, наступили до его начала, то новый срок отпуска определяется по соглашению сторон. если же эти причины наступили во время пребывания работника в отпуске, то срок возвращения из отпуска автоматически удлиняется на соответствующее количество дней, причем работник обязан незамедлительно уведомить об этом работодателя.
так что в данной ситуации рекомендую согласовать с работодателем возможность продления или переноса отпуска на 5 дней, но не считать, что по закону автоматически вы вправе считать свой отпуск продленным на 5 дней