Должны ли оплачивать стажировку

А теперь правильный ответ, возможно у вас еще не все потеряно, только доказать факт того, что вы работали действительно должен какой - либо свидетель.
так как вы были фактически допущены к работе, то трудовой договор считается заключенным и вам будет необходимо обратиться в суд, если вы хотите получить деньги за 5 дней вашей работы

если трудовой договор не заключен в письменной форме, но при этом работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя, то трудовой договор считается заключенным (это называется фактическим допуском работника к работе). в этом случае, как гласит ст. 67 тк, работодатель обязан оформить с работником трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.