Можно ли взять больничный дочери по уходу за старой мамой (83 года) , кторой сделали операцию, если мама живёт в др. город

Можно, но только при амбулаторном лечении - на срок до 3 дней, по решению врачебной комиссии - до 7 дней по каждому случаю заболевания. при стационарном лечении больничный лист не выдается.
а в отпуске без сохранения заработной платы работодатель имеет право отказать. отпуск без содержания работодатель может предоставить в случае, если сочтет данную причину достаточно уважительной.