Может ли организация работать без Ген.Директора(Директора) и кто несет ответственность за деятельность в этом случае?

Не может. Согласно статьи 53 Гражданского кодекса РФ юридическое лицо приобретает гражданские права и принимает на себя гражданские обязанности через свои органы, действующие в соответствии с законом, иными правовыми актами и учредительными документами. А руководитель является единоличным исполнительным органом организации и в соответствии с Уставом выступает от его имени без доверенности; представляет интересы организации; заключает сделки; осуществляет прием на работу, перевод на другую работу и увольнение, утверждает штатное расписание, устанавливает работникам должностные оклады, персональные надбавки, премирует работников и т.п.; выдает доверенности, утверждает внутренние документы (Положения, Инструкции), а также совершает иные юридические действия, не отнесенные Уставом к компетенции коллегиальных органов управления организации. Руководитель организации несет ответственность за финансово-хозяйственную деятельность организации. На период своего отпуска, болезни и т.п. обязанности руководителя могут быть возложены им на его заместителя на основании приказа. Кроме того, руководитель организации вправе наделить заместителя частью своих функций (полномочиями) на основании доверенности.