Может ли нанятый работник, не частный предприниматель,выдавать работодателю акт выполненных работ?

Может, если этот нанятый работник не штатный сотрудник организации (работает не по трудовому найму), а договорник - выполняет работы или услуги по гражданско - правовому договору. Например, подрядчик, исполнитель по договору на выполнение платных услуг и пр. Часто гражданско - правовые договоры на выполнение работ, услуг называют трудовыми договорами. От этого правовая природа отношений между заказчиком и исполнителем не меняется. Исполнитель штатным сотрудником заказчика не становится. Ни в коем случае. Отношения со штатным сотрудником, работающим действительно по трудовому договору, регулируются трудовым законодательством, в частности ТК РФ. Отношения с договорником - гражданским законодательством, в частности ГК РФ. Гражданско - правовые договоры могут заключать физические лица и не имеющие статуса ИП. Наберите в поисковике вопрос, например, о договоре подряда. Уйму информации получите.