Увольнение с договора подряда

Совершенно официально вы работаете.
только, как сказали выше, ваши отношения регулирует не трудовой кодекс, а гражданский, 37 глава. вы выполняете не трудовую функцию, а исполняете конкретный объем работ.
посмотрите ваш договор, в последних пунктах - что там написано, как он расторгается. пишете заявление вашему заказчику по договору, и - постарайтесь подписать с ним акт, что все работы по этому договору исполнены с надлежащим качеством и в срок, претензий нет.
этот акт является основанием для окончательного расчета с вами.
после этого вы можете явиться в кадровую службу этого предприятия для того, чтобы вам сделали запись в трудовую книжку о периоде работы по договору подряда с такой-то организацией. договора подряда, если они заключены с физическими лицами, как с вами, по желанию исполнителя вносятся в трудовую книжку.
и сам договор и обязательно акт храните со всеми своими документами вплоть до пенсии.