Я вдова с двумя детьми (13 и 14 лет) работаю официально в школе уборщицей, как мне максимально быстро уволиться с работы?

Ни ваше семейное положение, ни наличие несовершеннолетних детей, ни то, что вам предложили другую работу никак не освобождает вас от обязанности предупреждать работодателя о своем желании расторгнуть трудовой договор не позднее, чем за 2 недели до даты увольнения. уволиться до истечения этого срока можно только по соглашению с работодателем. отказать в приеме заявления об увольнении работодатель права не имеет, но увольнять вас в день подачи заявления только потому, что вам так захотелось, работодатель не обязан.
отпуск вне графика вам предоставлять не обязаны, а идти на больничный большого смысла нет, трудовую книжку всё равно в день увольнения только выдадут. разве, что новый работодатель согласится, чтобы вы эти две недели "больничного" без оформления у него поработали.