Подскажите пожалуйста, могут ли не оформлять по трудовой(вообще ни оформлять),ссылаясь на то что гл. бухгалтер в отпуске

А главный бухгалтер тут при каких делах? оформлением работника занимается кадровик. но, даже если фирма маленькая и обязанность эта возложена на гл.буха, то на период её отсутствия всё равно кто-то должен её обязанности исполнять. а если находятся какие-то глупые причины по которым работодатель "не может" заключить с вами договор, значит надо разворачиваться и уходить. зачем связываться с работодателем, который изначально ТК РФ нарушает.