Имеет ли право организация уволить меня на основании того, что я несколько раз не сдал экзамен на работе?

П. 3 ч. 1 ст. 81 тк рф
"трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
...
несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;"

для того работодатель и проводит то, что вы называете "экзаменами", чтобы соответствие занимаемой должности проверить. если вы уже несколько раз аттестацию пройти не можете, значит вы не соответствуете занимаемой должности, у вас низкая квалификация. зачем такой работник нужен? работодатель имеет право вас уволить. только должен официально всё оформить, обосновать в соответствии с тк рф и запись в трудовой книжке у вас будет соответствующая.
естественно, это никакое не "сокращение", должность ваша никуда не денется, на неё примут квалифицированного специалиста.