Трудовой договор и пенсионный фонд

Это не запрещено. но не является обязательным.
работодатель обязан перечислять страховые взносы, а вы имеете право запросить справку о перечисленных взносах. если у вас на руках будет трудовой договор и расчетные листы, то вариантов как бы нет у работодателя.
не верите- можете каждый месяц, каждый день запрашивать справку, а также выписку с лицевого счета в пфр.