Можно ли находясь на учёте в бирже труда работать с другой трудовой

Можно всё. Но если ЦЗН узнает о том, что стоя на учёте и получая пособие, вы имеете какой-либо источник дохода (работа по ТД, по ГПД, гонорары и т.п.), вас снимут с учета и обяжут выплатить те пособия, которые вами получены за ставший известным период работы. Некоторым на какое-то время это удаётся. Случаев привлечения к серьёзной ответственности что-то не припомню.