Грозят уволить сотрудника за ложные данные при заполнении анкеты кандидата!

А каким образом работодатель установил иную ситуацию? собирал данные о кандидате без его разрешения, так это нарушение конституционных прав граждан.
следует помнить что в трудовых отношениях работник пребывает только с момента его принятия на работу работодателем.
собеседование происходило до принятия на должность, когда стороны не были связанны трудовым договором.
если ваш работник не гос служащий то вообще никаких проблем. для госслужащих обычно требуется справка о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданная в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел.

заплатил штраф в гаи и забыл.
расторжение трудового договора по инициативе работодателя предусмотрено статьями 71 и 81 трудового кодекса.
статья 71. результат испытания при приеме на работу - это не к вам.
статья 81, увольнение работника по основанию, предусмотренному пунктом 7 или 8 части первой настоящей статьи, возможно в случаях, когда виновные действия, дающие основания для утраты доверия, либо соответственно аморальный проступок совершены работником вне места работы или по месту работы, но не в связи с исполнением им трудовых обязанностей, не допускается позднее одного года со дня обнаружения проступка работодателем. но опять же следует учитывать момент возникновения трудовых отношений. за штраф который был наложен до поступления на работу (и надеюсь оплачен) работник не несёт ответственности. иначе возникнет казус когда за одно и тоже нарушение следует два наказания.