Имеет ли право организация снимать подоходный налог,если работник официально не оформлен?

Не только имеет право, но и обязана.
в соответствии с нормами тк рф фактическое допущение к работе считается заключением трудового договора, независимо от того оформлен ли прием на работу надлежащим образом. таким образом, у организации возникают и все обязанности, как у работодателя, в том числе и оплачивать налоги и страховые взносы в пенсионный фонд.