Могу ли я требовать оплату операции от организации?

Требовать можно что угодно, но никто ничего вам оплачивать не должен, хоть это операция по общему заболеванию, хоть по производственной травме. все, что касается травмы на производстве - все оплачивает фсс, включая любые дорогостоящие операции, поэтому тут работодатель вам ничего оплачивать не будет. а по общему заболеванию - наше дорогое государство нас давно заставило выживать в одиночку, ни на кого не надеясь, уж по крайней мере ни на государство, ни на работодателя - это уж точно, ну если только какой благотворитель найдется...